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| ● 計算条件 |
| 加熱炉の形状、材質 |
| ● シミュレーションに使う方程式 |
| 差分方程式の内容 |
| プログラムを組む場合の補足 |
| エクセルのワークシートで計算する場合の補足 |
| ● 計算結果 |
| エクセルのワークシート |
| エクセル ３D等高線図 |
| 回転行列 ３D回転グラフ |
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| ● 計算条件 |
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| ー 加熱炉の形状、材質 |
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| 加熱炉の内面をどこまでシミュレーションするかですが、全部の形状、材質を図面通りにすることもできるし、天井と床は平行平板（もしくは円板）と仮定することもできます。 |
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| 上の炉の絵はエクセルの図形だけで作った単純なものですが、これでも全部をシミュレーションする場合には相当な手間がかかると思われます。 |
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| ここでは、シミュレーションを単純にするために、炉の形状は無視して、丸鋼片の外周の温度が決まっている場合をシミュレートしてみたいと思います。 |
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| ● シミュレーションに使う方程式 |
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| 外周温度が与えられる場合は、熱の伝わりの３要素、熱輻射、熱伝達、熱伝導のうち、熱伝導のみとなります。熱伝導の微分方程式は、特別な場合を除き解析的に解けないので、差分法をもちいて丸鋼片の内部温度の計算をします。（もちろん、差分法以外の数値計算法でもかまいません。） |
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| 丸鋼片の内部温度計算なので、極座標を用いて計算してみたいと思います。極座標の差分法の方程式は、次の式となります。 |
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| ー 差分方程式の内容 |
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| 式の詳細は、理論 熱伝導を参照してください。円柱座標では、中心部が点になるので、中心部のほかの解析（ひずみなど）をしたい場合は、直交座標系のほうが適しているかもしれません。シミュレーションの目的にあった座標系を使ってください。 |
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| Tが温度で、ｒ、θが極座標での位置です。Ｔの右肩のｎは、ｎ回目、ｎ＋１がその次です。Ｔの右足のi, jは、極座標での順番になります。 |
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| 初期条件をｎ＝１とすると、ｎ＝２が、凾 0.001 秒後の温度です。１０秒後のｎ＝１００００が最終となります。 i,j は、１から分割数までです。 |
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| ー プログラムを組む場合の補足 |
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| プログラムを組む場合は、VBAなどはi,jはゼロからでもエラーになりませんので、０から計算しても差し支えありません。 |
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| ー エクセルのワークシートで計算する場合の補足 |
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| エクセルの表で計算する場合は、セルの縦と横にｒとθをとり、あるセルに接している４セルの値で計算できます。エクセルの表で途中経過を保存する場合は、ほしい時刻で繰り返し計算を止めて、別表に書き出しておくといいです。 |
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| ● 初期条件 |
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| 長い丸鋼片の中央部の昇熱を計算しますが、初期条件としては、下記とします。 |
| 時間差分： 0.001 sec |
| 半径：85mm、分割数=20 |
| 角度：０−２π、分割数=21 |
| 初期丸鋼片温度： ３００度K |
| 丸鋼片外周温度：１０００度K |
| 炉庄温度 ： ８００度K |
| 極座標（ｒ、θ）なので、外周温度は、ｒ＝85mm、炉庄温度は、外周部円周２分割分とします。 |
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| ● 温度ミュレーション方法 |
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| 差分の式と初期条件をプログラムを組むか、エクセルのワークシートに展開して計算します。必要な時間分繰り返し計算をします。例では、凾=0.001秒としたので、10秒の計算では、1万回の計算が必要になります。 |
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| 計算結果だのみの出力でもいいですが、３秒後、５秒後など、途中経過を出力すると、例えば中心部での昇熱カーブが得られます。 |
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| 計算に使ったラップトップのスペックは、corei5 4コア RAM 16GBです。繰り返し回数は１万回でしたが、ほぼ瞬時に終わりました。 |
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| ● 計算結果 |
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| ー エクセルワークシート |
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| １０秒後の計算結果は下の表となりました。 |
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| ー エクセル 計算結果のグラフ表示 |
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| 座標データは２Dですが、温度を入れると３Dになるので、エクセルの３D等高線図を使いました。エクセルには、極座標用のいい３Dグラフが見つからなかったので、等高線図で結果を表示すると、次のようになります。 |
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| 外周（r=85mm）の中央あたりが凹んで見えますが、鋼片が炉床と接触しているとして温度を下げた部分です。 |
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| ー 回転行列 ３Dグラフ |
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| ３D回転で紹介した方法で、回転行列を利用してｒ、θ、ｔの３Dのデータを、Ｒ（ｘ），Ｒ（ｙ）、Ｒ（ｚ）に変換して、そのうちのＲ（ｘ）とＲ（ｚ）のデータで散布図を描いたものです。（詳細は「３D回転」を参照してください。） |
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| Ｒ（ｘ）軸で６４度回転、Ｒ（ｚ）軸でー４３度したものです。 |
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| 回転行列で３Dデータを２Dに変換しているので、散布図の軸は非表示、温度計算結果のデータに軸のデータを追加して、軸もデータと一緒に回転させています。 |
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| R（ｚ）軸も若干手前に傾いているので、エクセルの縦軸の数字は正確ではありません。R（ｚ）軸の傾斜分を補正して温度の数値を入れるのが正解ですが、イメージがわかればいいと思いましたので、散布図の縦軸をそのまま表示しています。 |
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| 丸鋼片が炉床と接触する部分は左側に来ています。 |
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| Author: T. Oda |
| このページは、excel2webで自動作成しました。 |
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